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解題，尤其是解數學問題，是有趣的，同時也是快樂的！因為問題本身的魅力和解決過程的一波三折，常?？梢允鼓氵h離塵世的煩惱與憂愁，帶領你進入高妙而悠遠的境界！但是，有些同學不同意這一觀點，認為數學題解起來很麻煩，因此而產生畏懼感，那是因為你未得要領！

數學解題模型淺析

新課程標準指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

“數學解題模型”是指教師在解題教學中發現并總結出的一些結論性認識，它表現為一種能有效解決某類型問題的技巧，是課標、教材中知識的進一步延伸、拓展或更直觀的表達。

若要給“數學模型解題法”一個嚴格一點的定義的話，可以作如下概括：面對數學問題，我們需要探究分析解決的思維策略，在大量的解題實踐中不斷總結反驗這些策略的科學性、有效性，進而將其提煉出來形成程序化思考過程或步驟，稱為解題思維策略模型；

同時在長期的解題實踐中，能自覺地將一些“相似”甚至看似“聯系不大”的題目及其分析解決方法進行系統的歸納概括，從中抽出具有共性即共同的解題規律性的東西，并形成分析解決問題的統一思維模型，用這種思維策略或模型自覺指導解題實踐的策略或方法，我們稱之為“數學模型解題法”.

中學階段數學模型簡單地說就是具體題目的解題套路，中間結論可使學生減少解題步驟，加快解題速度，減少出錯機會。只要有了數學思想與數學技能，就能自己推導出來，但要注意總結與積累。

數學不好的人，一個是見過，但沒有記住，太多人都是這樣的。另一個，是沒有“抽離出模型”。所以，“穿著黑色西服的張三”和“穿著黃色馬甲的張三”，在他們看來是兩個人，但在數學好的人看來是一個人。

數學解題思維模型

數學是講究邏輯、方法技巧的一門學科，很多同學因為不得其法，成績總是卡在中間難以突破。

【1】“三方面湊”，指的是“條件”、“結論”、“知識點”（該考點的公式等）

【2】到了最后一步，有時候靈光一閃就想到了，有時候想上幾個小時也想不出來。雖然會使用一些技巧，但也基本上是看天的了。

注意：到達這一步的時候，很容易進入“忘掉時間”的狀態，不知不覺之間，很可能就幾個小時過去了。

【3】絕大部分題目，其實根本到不了最后這一個階段。包括有些所謂的“壓軸題”，用一些常規的轉化和技巧就解出來了。而這些，都是平時的時候訓練、歸納總結出來的。

“數學解題模型”有哪些優點呢

“數學解題模型”是學生在數學解題中開展聯想的原型。如果學生看到相應的問題而不建立任何聯想，解題活動就根本無法正常開展。當學生面臨新的問題情境時，原型就會不招自來，產生聯想、類比、假設、轉化等，問題就會被順利解決，有助于學生形成良好的解題直覺。

1.“數學解題模型”能夠啟迪解題方向，促進學生對核心概念的深刻理解。

比如，一次函數是重要的數學模型，在教學中教師總結了“一次函數求最值問題的三步曲”：建立一次函數關系式：確定自變量取值范圍；求出最值。這個三步曲作為解題技巧成為“數學解題模型”，事實上，每次學生依照這個程序解決較復雜情境的問題就是對函數模型的應用過程，可以加強對數學建模過程的深刻理解。

2.“數學解題模型”可以縮短思維的推理過程，引導學生更直接地發現間題的本質。

心理學家克魯切斯基在對中小學生數學能力研究的過程中發現，數學能力強的學生“一眼就看出了問題的結構，就能把已知條件聯系起來”“能看到證明的一般類型，并明顯地傾向迅速而徹底地縮短推理的環節”。我國學者顧冷沅在“青浦實驗”中也發現：探究問題需要有一定的知識固著點。優秀的“數學解題模型”就是這樣的知識固著點，它的存在有助于縮減學生的思維長度。

當然，“數學解題模型”與數學建模不是一回事，數學建模是指：對現實問題進行數學抽象，構建數學模型，并用數學語言表達問題，用數學知識和方法解決問題的思維過程。史寧中教授進一步闡述為：數學模型就是用數學的語言講述現實世界的故事，它構建了數學與現實世界的橋梁，借助數學模型使數學回歸現實世界。

由此看來，數學建模是站在現實的立場上思考規律性的問題，并用數學語言進行表達；“數學解題模型”是為了更方便地解決一類問題而提煉的一些模式性的結論。

數學教學不僅要關注知識概念的結構化系統化，還要關注方法策略的結構化系統化，而且后者更為重要，因為這決定著所學知識能不能轉化為實際能力。但學校教學一般僅注重知識概念的整理歸納，缺乏對方法策略的總結提煉和系統訓練，只是在反復練習過程中使原本已掌握的東西增加熟練程度而已，導致學生的思維層次很難躍升，出現“會的一直會，不會的始終不會”這種原地徘徊現象。

如何獲取數學模型知識

數學模型思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數學能力和其他各種能力協同發展的過程。在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，可以使學生感覺到利用數學建模的思想解決實際問題的妙處，進而對數學產生更大的興趣參與其中。

通過建模教學，培養學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創新的精神，為學生的終身學習、可持續發展奠定基礎。因此在數學課堂教學中，逐步培養學生數學建模的思想，形成學生良好的思維習慣和應用數學的能力。

教師在教學的過程中通過創設情景，營造培養學生模型思想的良好氛圍、增加學生實踐的機會，讓學生在實踐的過程中感受模型思想和培養學生觀察生活的習慣，在觀察的過程中構建模型思想的方式，將培養學生的模型思想與學數學教學進行有效地結合，從而重點培養學生的模型思想。

初中數學常見模型解題策略如下：

針對這個令廣大莘莘學子頭疼的問題，只要在科學方法的引導下，成績一定會得到最大程度的提高。

模型三大步：看題型、套模型、出結果。

第一步：熟悉模型，不會的題有清晰的思路

第二步：掌握模型，總做錯的題不會錯了

第三步：活用模型，大題小題都能輕松化解

學生應用數學模型方法進行解題學的前提條件是要熟悉教材，熟練掌握教材。數學教材是數學知識的載體，是知識本身與獲取化學知識過程、方法的統一體。為此，作為學生要深入鉆研教材，深刻體會科學的方法論思想。

至于說網上有各種各樣的數學模型解題方法可是數學課本上并沒有，老師課上也不可能全部都講了，即使查找了也很難自己總結并學會，那么孩子們該如何獲取這部分知識呢？

筆者建議通過整理錯題本進行整理，可以詢問老師一個清單，通過網絡詢問老師整理一下，其實市場關于數學模型書很多，抽時間去看一下，買幾本回來再整理，再消化。至于孩子們又忙于作業，沒有時間去網上查找，家長可以抽時間幫助孩子查詢查找或購買圖書等，大浪淘金，不難發現寶貝就在身邊，只是你沒有注意發現發掘。

永遠要記住一點，題目是做不完的，但題型是有限的，只有學會解題反思，才能抓住題型。解題反思不僅僅是對數學解題學習的一般性回顧或重復，而是深究數學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，從中達到解決一類問題。

我個人非常喜歡的智者查理芒格曾經說：“思維模型是你大腦中做決策的工具箱。你的工具箱越多，你就越能做出最正確的決策”。掌握多個思維模型，你就比別人更聰明。

希望大家可以不斷地總結積累模型，讓自己變得越來越聰明。

所謂“有效教學”，不可以簡單的理解為教學目標的達成情況，也不可以憑教師完成教學任務的多少來衡量教學是否“有效”。所謂“有效”，主要是指通過教師在一段時間的教學之后，學生所獲得的具體的進步或發展。所謂“教學”，是指教師引起、維持或促進學生學習的所有行為。凡是能夠有效地促進學生的發展，有效地實現預期的教學結果的教學活動都可以稱之為“有效教學”。下面結合《一次函數》談談我對教學有效性的幾點思考。

一、認真鉆研教材，提高備課的有效性。

有效的備課應是備而有用的，應有利于教師落實地教、巧妙地教，促進學生學得快、學得扎實。有效備課重要的根據學生個體，教師的鉆研、思考，采用合適的教學方式及手段。在教學中，我力爭這樣備課：一、確定目標：這節課從不同角度來詮釋一次函數中主要的面積問題。二、確定教材：要教什么內容，教學重點是什么；三、關注學生：教到什么程度，教學難點是什么，用什么方法教，要讓每個學生上了這節課后，至少知道這節課是學數學，學了數學的哪些知識。如果教師一味地追求難度、深度、廣度，而一部分學生卻跟不上來，勢必他們就會把精力轉移到與上課無關的事中去（開小差）；四、教學反思：“精煉提升＂，根據課堂的實際情況寫出課后反思，調整自己的教學策略，不斷提升自己的教學藝術．可見備學生是提高有效課堂教學的一個重要方面。

二、實施有效提問，提高教學效率。

一節課是由若干個問題貫穿起來的，學生掌握如何與教師在教學過程中提問的質量有直接的關系。在教學過程中要設計符合學生認知水平富有啟發性的問題，才能使學生在新舊知識之間發生激烈的沖突，喚醒學生知覺，激發探究興趣，明確探究目標，確定思維方式，并產生強烈的探究欲望。多設計一些讓學生組織表述型的問題，少讓學生直接用“是”或“不是”來答題。

1、提問要有針對性。

教師所提的問題，既要針對學生的年齡特征，知識水平和學習能力，又要針對教材的重點和難點。而且，教師發問時要心中有數，用不同的方式提出不同類型，不同層次的問題。教師提出的問題無論是預設的還是即興生成的，都要有針對性，都應有聯系性和層次性，只有這樣，才能激發學生對問題的興趣。如：求直線y=x+3與兩條坐標軸圍成的面積。問學生一條直線與兩條坐標軸圍城的圖形是什么？學生回答是直角三角形后，再問若要求其面積，應該先求什么？這樣學生就容易得出通過點的坐標來得到直角邊的長度。

2、提高問題的思維容量。

教師的提問應該能激發學生思考，促進學生思維發展，培養和提高學生的探究能力。學生回答問題后，只要無原則性錯誤，老師就不能否定，應該抓住思維的閃光點。學生回答出面積后，那么斜邊AB上的高怎么求？然后再通過多媒體向學生展示問題：求直線y=2x+3、Y=-2x-1及Y軸圍成的三角形的面積。這樣就把問題由一條直線轉化為兩條直線與坐標軸圍成的面積。

3、提高提問的技能。

課堂教學效果如何與教師的提問方式、提問契機的把握、提問的語氣、提問的質量等有很大的關系。一句話，教師在課堂教學中所提問題要培養學生的興趣，調動學生的積極性，讓學生成為課堂的主體、學習的主人。

三、實施有效傾聽有效教學。

有效地傾聽本身就是一種教育，充滿真誠、耐心的傾聽，即使你沒有給予對方幫助，也會因為愛心的存在，使他的心靈獲得十分豐厚的精神饋贈。

對于學生的每一次回答問題，教師如慈祥的長者始終微笑著面對，帶著賞識的目光看著他們，耐心聽他們把問題說完。學生會感覺到來自教師的理解、寬容、尊重、關愛，體驗可貴的心靈滿足，真正從心底涌起被人欣賞（特別是被教師欣賞）的幸福。這樣做的意義遠遠超過僅僅給了學生一次表達的機會，從更深層次上看，它給學生帶來的是人格的關愛，點燃的是思維的火花，鑄就的是價值的追求。學生也會從教師身上讀懂傾聽的態度、傾聽的習慣，并潛移默化地受到影響。

四、課堂教學結構，實行分層次教學。課堂教學結構的安排切實抓好五個環節：1明確教學目標，創設問題情境，把問題作為教學的出發點；2、指導學生開展嘗試活動，啟發他們發現問題，提出問題，分析問題和解決問題；3、圍繞教學目標，組織變試訓練，注重一題多解，以提高訓練效率；4、及時評價，實現多途徑、多方位、多形式的反饋矯正；5總結歸納，深化目標，引導學生概括所學知識、方法，并聯系已有的知識形成新的知識結構。教學中可采取“低起點，多層次”的教學方法，即適當放低教學起點，適當增加教學層次，盡可能提高課堂教學效益。例如，已知直線y=ax+1分別與x軸和y軸交于B、C兩點，直線y=-x+b與x軸交于點A，并且兩直線交點P為（2，2）求兩直線解析式；（2）求四邊形AOBP的面積

把這個問題分成兩個小問題，適當降低難度，并且第

一個小問題學生基本能夠完成。在嘗試到成功的喜悅

之后，學生繼續解決第二個問題。讓學生先觀察圖形，

從圖形中獲得什么信息，該四邊形的面積沒有公式可

求，利用前面所學的知識怎么求。以學生為主體，讓

學生自己完成。教師點思路，講方法，形成思路。最

后由學生講自己的解題思路，讓選擇適合自己的解題

方法。從而歸納歸納出解題方法：在直角坐標系中求面積問題，往往化歸到有一條邊在坐標軸上的三角形（規則圖形）的面積。

實行分層教學，調整課堂結構，實施有效教學，起到了鞏固“雙基”和培優的作用。

五、提高學生課堂的參與度，促進有效教學。

提高學生課堂的參與度促使學生積極參與學習是課堂教學永恒的追求，是有效教學的核心。沒有參與就沒有教學，因而在教學中必須充分調動學生學習的積極性、主動性和創造性，使學生在課堂上精神飽滿，通過動手、動眼、動口，最大限度地提高學生參與到學習過程當中。

例如，直線OC、BC的函數關系式分別為y=x和y=-2x+6，動點P（a,0）在OB上移動0

（1）求點C的坐標；

（2）設△OBC中位于直線l左側部分的面積為S,

寫出S與a之間的函數關系式；

（3）當a為何值時，直線平分△BOC的面積?

點C的坐標易求出來，學生開始考直線l左惻部分面積怎么求，有些學生拿把尺移動并觀察左邊的圖形的形狀，提高學生課堂參與與興趣，從而找到解決問題的策略。新課程為學生的參與提供了積極背景，如：立足生活、聯系、尊重學

生的生活經驗，注重情境的創設等，作為教師應創造性地使用這些因素，隨時關注學生參與的狀態、廣度、時間、方式、品質及效果等，體現學生學習的自主性，從而確保學生的積極參與，充分落實學生的主體地位。

教師應用有效教學策略的過程實際上是一個創造性的過程，是一個研究的過程，也是教師自身發展的最好的基本的渠道。讓我們在新課程“有效教學”的理念下，研究教材和教學實踐相結合，不斷積累和掌握有效教學的策略，為全面提高學生的數學素質，促進學生的發展作出更大貢獻。

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