高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料(一)
2.1函數(shù)及映射的概念
課程引入：
初中函數(shù)定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于的每一個(gè)值，都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱是的函數(shù)。其中叫做自變量，自變量的取值范圍叫做定義域;叫做函數(shù)值，其取值范圍叫做值域.
必備知識(shí)：
1. 映射的定義：對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，記作：,其中A中的元素叫做原象，B中的元素叫做象，叫做對(duì)應(yīng)關(guān)系(或?qū)?yīng)法則)。
2. 函數(shù)定義：對(duì)于數(shù)集A中任何一個(gè)元素在數(shù)集B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的函數(shù)，記作：，自變量的取值范圍叫做定義域，函數(shù)值的取值范圍叫做值域，與之間的關(guān)系叫做對(duì)應(yīng)法則。
例題講解：
例題1(06湖北模擬)設(shè)都是由A到A的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表(從上到下)：
表1 映射的對(duì)應(yīng)法則
原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 表2 映射的對(duì)應(yīng)法則
原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2 則與相同的是( )A
A. B. C. D.
練習(xí)1(07北京模擬)設(shè)是集合A到集合B的映射，如果，則等于( )C
A. B. C. 或 D. 或
例題2已知，，則映射的個(gè)數(shù)為 。4
練習(xí)2：是從集合到集合的映射，則滿足映射條件的""共有( )D
A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)
例題3已知，求.
練習(xí)3已知，求
2.2求函數(shù)定義域
課程引入：
函數(shù)，求其定義域.
必備知識(shí)：
1. 定義：自變量x的取值范圍(映射觀點(diǎn)：原象的集合)
2. 常見函數(shù)定義域：(1)分母不為零(2)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零(3)開偶次根式，被開方數(shù)大于或等于零
3. 求函數(shù)的定義域即轉(zhuǎn)化為解不等式(組)，可用"區(qū)間"或"集合"來表示.
例題講解：
例題1(08全國(guó)1文)函數(shù)的定義域?yàn)? )D
A. B. C. D.
練習(xí)1：(09江西文)函數(shù)的定義域?yàn)? )D
A. B. C. D.
例題2(08江西文)若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是( )B
A. B. C. D.
練習(xí)2：若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)? )A
A. B.
C. D.
例題3函數(shù)的定義域?yàn)镽，則的取值范圍是 .
練習(xí)3：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求的取值范圍 .
例題4若函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.
練習(xí)4：若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是( )B
A. B. C. D.
2.3求函數(shù)值域
課程引入：
初中一次函數(shù)圖像引入，，的取值范圍?圖像處理
必備知識(shí)：
1.定義：函數(shù)值的取值范圍叫做函數(shù)的值域.
2.求值域的常用方法：
(1) 換元法 形如：求值域
(2) 判別式法 形如：求值域，去分母轉(zhuǎn)換為一元二次方程，由求出y的范圍
(3) 分離常數(shù)法 形如：求值域
(4) 反函數(shù)法 利用互為反函數(shù)定義域和值域互換的特點(diǎn)，原函數(shù)值域就是反函數(shù)定義域。
(5) 數(shù)形結(jié)合法 如：三角函數(shù)、含絕對(duì)值的函數(shù)
(6) 均值不等式
例題講解：
例題1(09福建模擬)函數(shù)的值域是( )B
A. B. C.R D.
練習(xí)1：求函數(shù)的值域.
例題2(08重慶文)函數(shù)f(x)=的最大值為( B )
A. B. C. D.1
練習(xí)2：(09東北模擬)函數(shù)其中(x<0)的值域( )A
A. B. C. D.
例題3求函數(shù)(09湖北文)函數(shù)的值域是( )B
A. B. C. D.
練習(xí)3：求函數(shù)的值域.
例題4(08四川模擬)函數(shù)的值域是 .
練習(xí)4求函數(shù)的值域是 .
例題5函數(shù)在上的值域是，則的取值范圍是( )D
A. B. C. D.
練習(xí)5：已知函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值.
2.4分段函數(shù)求值
必備知識(shí)：
1.注意定義域的范圍，帶入相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式求出函數(shù)值即可.
例題講解：
例題1(09北京文)已知函數(shù)若，則 。
練習(xí)1：(09山東文)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f(3)的值為( B )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
例題2(09天津文)設(shè)函數(shù)則不等式的解集是( )A
A B C D
練習(xí)2：(08山東理)設(shè)函數(shù)f (x)=則f 的值為( )A
A. B. - C. D.18
例題3(08天津理)已知函數(shù)，則不等式的解集是( )C
(A) (B)
(C) (D)
高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料(二)
一：集合的含義與表示
1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。
把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡(jiǎn)稱為集。
2、集合的中元素的三個(gè)特性：
(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于或不屬于。
(2)元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。
(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合
3、集合的表示：{…}
(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。
a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}
b、描述法：
?、賲^(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。
{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
②語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。
4、集合的分類：
(1)有限集：含有有限個(gè)元素的集合
(2)無限集：含有無限個(gè)元素的集合
(3)空集：不含任何元素的集合
5、元素與集合的關(guān)系：
(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A
(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A
注意：常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N
正整數(shù)集N*或N+
整數(shù)集Z
有理數(shù)集Q
實(shí)數(shù)集R
6、集合間的基本關(guān)系
(1).“包含”關(guān)系(1)—子集
定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。
7、集合的運(yùn)算
二、函數(shù)的概念
函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f(x)，x∈A.
(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;
(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則
函數(shù)的表示方法：(1)解析法：明確函數(shù)的定義域
(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。
(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。
4、函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.
(2)畫法
A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對(duì)稱變換，即平移。
(3)函數(shù)圖像平移變換的特點(diǎn)：
1)加左減右——————只對(duì)x
2)上減下加——————只對(duì)y
3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對(duì)稱得函數(shù)y=-f(x)
4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對(duì)稱得函數(shù)y=f(-x)
5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得函數(shù)y=-f(-x)
6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動(dòng)得
函數(shù)y=|f(x)|
7)函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像得函數(shù)f(|x|)
三、函數(shù)的基本性質(zhì)
1、函數(shù)解析式子的求法
(1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
(2、求函數(shù)的解析式的主要方法有：
1)代入法：
2)待定系數(shù)法：
3)換元法：
4)拼湊法：
2.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零，
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.
3、相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
4、區(qū)間的概念：
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間
(2)無窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示
5、值域(先考慮其定義域)
(1)觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域;
(2)反表示法：針對(duì)分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。
(3)配方法：針對(duì)二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍。
(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對(duì)根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.
(4)常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、含絕對(duì)值的函數(shù)
7.映射
一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系)：A(原象)---B(象)”
對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：
(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);
(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
注意：映射是針對(duì)自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對(duì)數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)
8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值
(1、增減函數(shù)
(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1
(2)如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1
注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種
(2、圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(A)定義法：
任取x1，x2∈D，且x1
作差f(x1)-f(x2);
變形(通常是因式分解和配方);
定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));
下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”
注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
9：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1、偶函數(shù)
一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).
(2、奇函數(shù)
一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).
(3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
a、首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;若是不對(duì)稱，則是非奇非偶的函數(shù);若對(duì)稱，則進(jìn)行下面判斷;
b、確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;
c、作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù);
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù).
(4)利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性
a、在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);
奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);
奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);
偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);
一奇一偶的乘積是奇函數(shù);
a、復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇。
注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，
(1)再根據(jù)定義判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.
10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用
(1、函數(shù)的最值
a利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值
b利用圖象求函數(shù)的最大(小)值
c利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
(2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性
奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;
偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。
(3、判斷含糊單調(diào)性時(shí)也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。
(4)絕對(duì)值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。
(5)在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。(高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0)。
高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié):基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)
指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算：
復(fù)習(xí)初中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：
am*an=am+n
(am)n=amn
(a*b)n=anbn
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的
二、對(duì)數(shù)函數(shù)
(一)對(duì)數(shù)
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
三、冪函數(shù)
高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié):函數(shù)的應(yīng)用
方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn).
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
(1)(代數(shù)法)求方程的實(shí)數(shù)根;
(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).
4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：
(1)△>0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)△=0，方程有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).
(3)△<0，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).